Fattorizzazione RSA di Lepore
Complessità random
Definizione
Tutti i numeri NR escluso i multipli di 2 e di 3 si scrivono nella forma 6h+1 e
6h+5.
Dimostrazione
NR modulo 6 =1 -> 6h+1
NR modulo 6 =2 -> è multiplo di 2
NR modulo 6 =3 -> è multiplo di 3
NR modulo 6 =4 -> è multiplo di 2
NR modulo 6 =5 -> 6h+5
NR modulo 6 =0 -> è multiplo di 2 e di 3
Lemma
Quindi partendo da 1 e facendo +4 e +2 si ha 1 5 7 11 13 17 19 23 25 29
ecc.ecc.
Definizione
Ogni numero NR escluso i multipli di 2 e di 3 si scrivono nella forma
1) X^2+6nX=NR
2) X^2+6nX+2X=NR
3) X^2+6nX+4X=NR
Dimostrazione
Dal lemma segue direttamente
1) X(X+6n)=NR
2) X(X+6n+2)=NR
3) X(X+6n+4)=NR
In più si può osservare che:
(6h+1)*(6k+1)=6G+1
(6h+5)*(6k+5)=6G+1
(6h+1)*(6k+5)=6G+5
(6h+5)*(6k+1)=6G+5
----------------------------------------------------------------------------------------
Da ciò si può dedurre che risolvendo (6h+1)*(6k+1)=6G+1 si possano
risolvere gli altri tre casi
questi (6h+1)*(6k+5)=6G+5 (6h+5)*(6k+1)=6G+5 moltiplicando per 5
e questo (6h+5)*(6k+5)=6G+1 moltiplicando per 25
Quindi prendiamo come caso base
(6h+1)*(6k+1)=6G+1
X^2+6nX=NR
si può facilmente notare che
se G è pari n sarà pari
se G è dispari n sarà dispari
----------------------------------------------------------------------------------------
Se NR=(6*a+1)*(6*b+1)
allora possiamo scriverlo nella forma
NR=(6*a+1)^2+6*n*(6*a+1)
quindi
n=(G-6*a^2-2*a)/(6*a+1)
dove G=(NR-1)/6
----------------------------------------------------------------------------------------
Per capire ci scriviamo una tabella dove i valori NR=(6*a+1)^2+6*n*(6*a+1)
a parte da 1 ed n parte da 0
a\n
49 91 133 175 217 259 ….......
169 247 325 403 481 559 …......
361 475 589 703 817 931 …......
625 775 925 1075 1225 1375 …......
961 1147 1333 1519 1705 1891 ….......
1369 1591 1813 2035 2257 …................
…...............................................................
…...............................................................
Si può osservare che la differenza tra NR(a+1,n-2)-NR(a,n)=36*(n-1)
Quindi l'idea è di aggiungere ad NR un multiplo di 36
Cioè NR2=NR+i*36
fino a quando non soddisfi una determinata condizione cioè questa
NR=(6*a+1)^2+6*n*(6*a+1) con (6*a+1) divisore di NR
calcolandoci la n dalle seguenti da una delle due
Se (NR-1)/6 è dispari
(2+2*N)*N/2-(2+2*M)*M/2=(NR2-NR1)/36=K dove n=2*N+1
Se (NR-1)/6 è dispari
N^2-M^2=(NR2-NR1)/36=K dove n=2*N
[(*NOTA1*) per il momento tralascio come si calcola n ed m , ci devo pensare
un po]
Quindi avremo n-1 possibilità di risolvere la fattorizzazione.
Da notare che più grande è i più la frequenza dei numeri che ci interessano è
bassa.
Esempi
[(*NOTA2*) In questi esempi terremo conto che di solito in RSA il numero da
fattorizzare NR=p*q avrà q/p < 2 ]
Esempio 1
617251=p*q=p^2+6*n*p
per la (*NOTA2*) p >= 553 e q <= 1111
quindi la n massima è n_max=(q-p)/6=93
i numeri i validi sono
84
(2+2*N)*N/2-(2+2*M)*M/2=84
N=42
n=2*42+1=85
617251=p^2+6*85*p
segue p=571
166
(2+2*N)*N/2-(2+2*M)*M/2=166
N=42
n=2*42+1=85
246
(2+2*N)*N/2-(2+2*M)*M/2=246
N=42
n=2*42+1=85
324
400
474
546
ecc.
ecc.
Esempio 2
620677=p*q=p^2+6*n*p
i numeri i validi sono
85
N^2-M^2=85
N=43
n=2*43=86
620677=p^2+6*86*p
segue p=571
ecc.
ecc.
Alberico Lepore 24 Agosto 2017
